「『維度』是什麼？」在學習線性代數前，這個問題從未出現在我腦海中。一維是線段、二維平面、三維是我們所生活的立體空間，一切是如此自然且無庸置疑，直到大二修了線性代數的課之後，才發現原來這個平平無奇的語彙背後有著嚴謹定義支撐，並且只要依循特定推論，就可以將低維度所發生的事情移植到高維度上。

　　要構築這個宏大的世界觀，首先我們要知道「向量空間」是什麼。用較為通俗的方式來比喻的話，向量空間就像在描述世間萬物必須遵守──或者說適應的條件，例如生物要能夠呼吸由78.1%氮氣、21%氧氣組成的空氣才能在地球留存。而向量空間僅靠「集合、加法、乘法」便可訂定出一套屬於這個世界的「存活規則」，只要我們定義的集合與加、乘法滿足：加法交換律、加法結合律、乘法分配律，且存在加乘法單位元素，我們就可以斷言集合裡的每個元素都存在於一個向量空間中。

　　此時，可能會有人疑惑訂定這些規則的用意：「定義出向量空間了，然後呢？」事實上，這些框架並非隨意規範，而是數學家推廣理論的重要依據。此種推論的流程有點像是：人們觀察到了有一群動物以草為食，便將這群動物命名為草食動物，而草食動物通常會演化出扁平的臼齒，因此只要有新的動物被歸類成草食動物，我們便可知道牠大概也有扁平的臼齒。在數學的世界裡，這種推論關係更加嚴謹，當數學家憑藉著向量空間的定義推演出其他特性後，我們只要回過頭確認新的集合、加乘法滿足定義了，那它們必然擁有這些推論出的特性，無須再個別探討。

　　回到最初的問題，到底何為「維度」？維度其實是在描述一個向量空間由多少「基底(basis)」構成，簡而概之，便是坐標系中含有多少個座標軸。藉由線性組合，彼此正交(可以理解為互相垂直)的基底向量可以生成(span)一個向量空間，而生成該向量空間所需之基底數量，即是我們口中的維度。舉例來說，平面上的任意一點都可以靠(1, 0)、( 0, 1)向量的伸縮、加減表示，因此我們稱平面是二維的(例如(1，5)=1×(1，0)+5×(0，1)；而僅靠(1, 0) 向量伸縮的話，我們只能生成在笛卡兒坐標系的x軸(α×(1，0))，也就是一條直線，因此我們稱直線為一維。

　　前述座標概念僅為線性代數的冰山一角，其實這種圖像式思考能推廣到許多進階且複雜的理論上，像是機率中的Jacobian transformation、數位通訊中的調變與解調變。單看公式可能會讓人一頭霧水，但背後原理仍離不開座標轉換以及向量投影。

　　從上述例子可以看到，數學並不如我們設想的那麼紙上談兵，相反地，運用數學邏輯可以有條理地解決生活問題，甚至有些習以為常的詞彙本身就是數學用語。這也帶給痛恨數學許久的我不少哲思性啟發──過於複雜的事情可能只是人們沒挑對角度看待它。這便是我上完線性代數後之感想。